Chapter 2. 数据的表示和运算

公式与性质

• 十进制数转换为任意进制数：（整数部分）除基取余，先余为低，后余为高；（小数部分）乘基取整，先整为高，后整为低。（都是从小数点向左/向右写）

• 不是每个十进制小数都能用准确地用二进制表示，但任意一个二进制小数都能用十进制小数表示。

• 用补码整数表示整数，原码小数表示浮点数的尾数部分，移码表示浮点数的阶数部分。

• 正数补码 = 原码 = 反码，负数补码 = 原码数值位取反 +1（最右边的 1 及其右侧不变，左侧全部取反）；补码转回原码操作完全相同。

• 移码 = 补码将符号位取反。

• 原码 0 有两种（正零和负零），补码和移码 0 只有一种。

• 对于负数补码、反码，数值位部分越小，该数越小。

• 无符号整数进行零扩展，有符号整数进行符号扩展。

• Overflow Flag, OF 溢出标志：带符号数是否溢出。 OF=C_n \oplus C_{n-1} （最高位进位 \oplus 次高位进位）。

• Carry Flag, CF 进/借位标志：无符号数是否溢出。 CF=C_{out} \oplus C_{in} （最高位进位 \oplus 低位进位）。

• Sign Flag, SF 符号标志：和的符号。

• Zero Flag, ZF 零标志：结果为零时 ZF=1 。

• ALU 的核心是带符号加法器。

• 控制信号（来自控制器） m \ bit ，如果 ALU 支持 k 种控制，则 m \ge \lceil \log _2 k \rceil 。

• 计算机字长由 ALU 运算位数决定。

• 在字长为 32 位的计算机中，int的乘积若高 32 位的每一位都相同且等于低 32 位的符号，则不溢出，否则溢出。对于 unsigned int，若高 32 位全为 0 ，则不溢出，否则溢出。

• IEEE 754

  • 在阶码（移码表示）不为 0 时，尾数（原码表示）隐含表示最高位 1 ；阶码为 0 时尾数隐含表示最高位 0 。
  • 浮点数的格式

    类型	符号 s	阶码 e	尾数 f	总位数	偏置值
    单精度	1	8 \ (1 \sim 254)	23	32	127
    双精度	1	11 \ (1 \sim 2046)	52	64	1023

  • 阶码 - 偏置值 = 指数
  • 阶码全 0 ，尾数全 0 ，表示 \pm 0 ，此时尾数隐含 0 而不是 1 。
  • 阶码全 1 ，尾数全 0 ，表示 \pm \infty 。
  • 阶码全 0 ，尾数非 0 ，表示 NaN 。
  • 阶码全 1 ，尾数非 0 ，表示非规格化数。

• 浮点数的加减运算

  1. 对阶
     • 小阶码向大阶码看齐
  2. 尾数加减
  3. 尾数规格化
     1. 1x.x...x 时右规
     2. 0.0...01x...x 时左规
  4. 舍入

• 数据的大小端存储

  • 大端：先存储高位字节，再存储低位字节。顺序与原序列相同。
  • 小端：先存储低位字节，再存储高位字节。顺序与原序列相反。

• 对齐存储指的是按机器字长对齐。

概念

• n 位定点数的表示范围

  表示方式	定点整数	定点小数
  原码	-(2^{n-1}-1)\sim (2^{n-1}-1)	-(1-2^{-(n-1)})\sim(1-2^{-(n-1)})
  反码	-(2^{n-1}-1)\sim (2^{n-1}-1)	-(1-2^{-(n-1)})\sim(1-2^{-(n-1)})
  补码	-2^{n-1}\sim(2^{n-1}-1)	-1\sim (1-2^{-(n-1)})
  移码	-2^{n-1}\sim(2^{n-1}-1)	-1\sim (1-2^{-(n-1)})

  原码和反码表示范围相同，补码和移码表示范围相同。

• 阵列乘法器输入并行，每个位同时计算，可认为是全并行运算的乘法器。

• 浮点运算器可用两个松散连接的定点运算器部件——阶码部件和尾数部件来实现。

  阶码和尾数可以分别处理。

• 对于 IEEE 浮点数，如果减少 1 位指数位，将其用于小数部分，能表示的最大实数变小，最小的实数变大，但数值的精度更高，能表示的实数数量可能发生变化。

考点

• 8 位补码有符号定点整数表示的最小数的二进制形式是 1000 0000 。

  最小数不能用常理计算，记忆即可。

• 已知 x<0 且为小数，其编码为 n 位，则满足 [x]_补 = [x]_原 的真值 x 为 -2^{-1} 。

• 执行 unsigned short usi = 65535; short si = usi; 后，si 的值是 -1 。

  65535 的无符号二进制为 1111 1111 1111 1111 ，视为有符号后，其原码为 1000 0000 0000 0001 。

• 双符号位补码，若运算结果符号位为 01，则为正溢出；若为 10，则为负溢出。

• IEEE 754 中 32 位浮点数的最大规格化正数为 [1+(1-2^{-23})]\times 2^{127}=2^{128}-2^{104} ，最小规格化负数为 -[(1+(1-2^{-23})]\times 2^{127}=-(2^{128}-2^{104}) ；64 位同理。

  IEEE 754 32位浮点数表示范围为 (-1)^S\times1.m\times2^{E-127} ，其中 S 为符号位，m 为尾数，E 为阶码。当数最大时，m= 111 1111 1111 1111 1111 1111 ，E=254 ，最小时取负数即可。

• 设浮点数的阶码和尾数均采用补码表示，且位数分别为 5 和 7 （均含 2 位符号位），若有两个数 X=2^7 \times \frac {29} {32}, Y=2^5\times\frac 5 8 ，则用浮点加法计算 X+Y 的最终结果是发生溢出。

  X:              00|111|00|11101
  Y:              00|101|00|10100
  Y 向上对阶为 Y': 00|111|00|00101
  X + Y':         00|111|01|00010   (尾数正溢出)
  对尾数右规:      01|000|00|10001   (阶数正溢出)
  

• 尾数舍入的过程包含右规。

• 两规格化浮点数相加，最后对结果规格化时，右规的右移位数最多为 1 位，左规的左移位数最多为 尾数位数-1 位。

• 若浮点数用补码表示，则数符与尾数小数点后第一位数字相异为规格化数。

• 函数和初始化的全局变量（包括显式初始化为 0 ）是强符号，未初始化的全局变量是弱符号。同名的强符号只能有一个。允许一个强符号和多个弱符号，但链接器会选择强符号。当有多个弱符号相同时，链接器选择最先出现的。

• 若 f=1.5678\times 10^3 (IEEE 754 float)，d=1.5\times10^{100} (IEEE 754 double)，则 (d+f)-d==f 为假。

  对阶时尾数会丢失。